数字のイメージマジックと条件確率

数字のイメージマジックと条件確率

条件付き確率の事例

 

感覚的に感じる確率と、実際に計算してみた確率とでは、全然違っていることがあります。

理系女子ツン姉の数学教室ということで、『条件付き確率』の例を紹介しようと思います。

 

『条件付き確率』では、有名な『モンティ・ホール問題』というものがあります。

 

代表的な事例問題として、次のようなものがあります。

 

あなたは、とあるイベントに参加しました。

そのイベントとは、ステージに3つの扉があり、そのうち扉を開けると景品が置いてある扉が1つあり、それを正解すると景品がもらえるというものでした。

 

あなたは、このイベントに挑戦し、3つの扉から景品が入っていると予想した扉を1つ選びました。

すると、答えを知っている司会者が、「サービス、サービスぅ!」と言いながら、あなたが選んだ扉以外の残りの2つの扉の中から、不正解の扉を1つ選んで開けて、この扉は不正解だよと示してくれました。

 

さらに、司会者はここで「あなたが選んだ扉を変更してもかまいませんよ」と言いました。

 

より景品が当たる確率が高い選択をしたいあなたは、選んだ扉を変えるべきか、変えないべきか、変えても変えなくても同じなのか

3つの扉のうち、1つは開いて不正解だと分かっているので、それ以外の2つの扉がそれぞれ正解する確率は、1/2になるので、扉を変えても変えなくても確立は同じ1/2である。

扉を変えたほうが当たる確率が高くなります。

 

仮に、扉をA・B・Cとします。

そしてあなたが選んだ扉がA、司会者が開けて不正解だとわかった扉がBとします。

 

最初に扉を選ぶ際、それぞれの扉が正解となる確率は、扉が3つあるので1/3ということになります。

当然、扉Aが正解になる確率も1/3です。

 

そして扉Bか扉Cのいずれかが正解になる確率は2/3です。

ところが司会者がドアを開けて扉Bが不正解だという条件を加えた段階で、扉Bの正解はないので扉Cが正解の確率はそのまま2/3となります。

 

つまり、扉Aのまま変えないと正解の確率は1/3、扉Cに変えると正解の確率は2/3となります。

条件付き確率の問題

例題としてもう一つ
催眠術にかけられる私にあえる確率は? ということで問題をつくってみました…

 

 

私は、とある催眠術教室の被検者モデルとして100日間アルバイトをすることになりました。

催眠術教室は、1日に昼過ぎ・夕方の2回開かれて、被検者モデルは、必ず教室1回あたり1度は催眠術にかけられることになっています。

 

催眠術の被検者モデルとして採用になったのは、私を含め10人で、勤務は1人交代制のアルバイトで1日単位のシフト勤務です。

 

つまり、私を含めた被検者モデル10人のうち誰か1人が、昼すぎの教室に被検者モデルとして出ます。

夕方の教室は、その日の昼過ぎ教室で被検者モデルをやった被検者モデルのアルバイトが勤務します。

 

シフト勤務の割り当てですが、私の割り当ては催眠術にかかりやすいということでシフトの15%になり、残りの9人で85%を担当することになりました。

 

あなたは、私が催眠術にかかっている姿をみたいので、被検者モデルが私の時に催眠術教室に行こうと考えています。

 

そこで、あなたは催眠術教室の清掃係の人に、昼過ぎの教室で被検者モデルにされていてのは、私なのかを尋ね、「昼過ぎの教室で被検者モデルにされていたのは、私だと思う」と確認してから、その日の夕方の教室に出ることにしました。

 

しかし、その清掃係の人は教室の外からは催眠術にかけられている被験者モデルの後ろ姿しか見えないため、被検者モデルが私なのか、それ以外の人なのかを正確に判断できる確率は90%です。

 

さて、清掃係の人から「昼過ぎの教室で被検者モデルにされていたのは、私のほうだと思う」という情報を得たあなたは、その日の夕方の教室に出ることにしました。

そこであなたが、催眠術にかけられる私を目撃できる確率はどのくらいでしょうか?

まず、必要な情報をコンパクトに整理してみます。

 

清掃係の人が、

私を正確に私だと見分けられている確率・・・・・・90%

私以外の人を私だと誤認してしまう確率・・・・・・10%

 

単純に、無作為に催眠術教室に行ったとすると、

私が催眠術の被検者にされている確率・・・・・・・15%

私以外のアルバイトが被検者にされている確率・・・85%

 

催眠術教室で催眠術にかけられる私に出会うということは、その時に私が催眠術教室の被検者になっているということになります。

そして、昼過ぎの教室の被検者モデルと、その日の夕方の教室の被検者は同じです。

 

つまり、清掃係の人から「昼過ぎの教室で被検者モデルにされていたのは、私のほうだと思う」と聞いたとき、それが本当に私である確率を求めればいいのです。

 

被検者が私で、清掃係の人も私だと正しく見分けられる確率は、

0.15×0.9=0.135 (13.5%)

 

被検者が私以外の9人のいずれかで、清掃係の人がそれを私だと誤認してしまう確率は、

0.85×0.1=0.085 (8.5%)

 

清掃係の人が昼過ぎの教室で催眠術の被検者にされていたのは私だと発言した場合、本当に私が被検者として催眠術にかけられている確率は、

13.5%/(13.5%+8.5%)=61.364%

 

清掃係の方が、90%の確率で見分けられたとしても、私に会える確率は約6割ということになります。

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